愚以为，纯数学是艺术的最高形式之一。

——罗素

编者按：自17世纪创立以来，微积分俨然成为了科学研究中不可缺少的数学工具。然而直到19世纪，微积分，或者更进一步说，数学分析的基础，却一直都建立在模棱两可的定义以及似是而非的经验知识之上。最终在以魏尔施特拉斯为代表的众多数学家的不懈努力下，基本上实现了分析的算术化，使数学分析成为一门严密的学科。本文节选自中科院物理所研究员曹则贤老师的新书《惊艳一击：数理史上的绝妙证明》。曹老师从生活中最为常见的微积分入手，带我们走进魏尔斯特拉斯和令他名声大噪的“病态函数”。

出版社： 外语教学与研究出版社

ISBN：978-7-5213-1153-2

出版时间：2019-09

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微积分

有人说微积分（the calculus）是一座桥，跨过了这座桥，就进入了高等数学的领域。这话有点儿夸张。数学博大精深，饶是你在最著名的大学里把微积分教得个得心应手，也未必就算入了数学的门。单以特定数学分支的深度而论，比如加法，那也是万丈深渊，足以把绝大部分人拦在数学门外。微积分的发展历程，是惊心动魄的思维之旅。作为微积分的前驱性工作，有公元前三世纪阿基米德计算几何体之（表）面积、体积的努力，有费马用现代方法求曲线斜率和曲线下面积的探索。微积分作为一门学科的奠立，是牛顿、莱布尼茨（Gottfried Wilhelm von Leibniz，1646–1716）、伯努利兄弟（雅各布·伯努利和约翰·伯努利）以及欧拉的天才创举。微积分一经建立，就展现了其非凡的威力，不仅促进了数学自身的发展，还迅速推进了物理学、天文学的现代进展。没有微积分，物理学只是一门含有些许抽象内容的经验科学。

然而，随着微积分的发展，其面对的问题也越来越复杂，这时候微积分根基不稳的问题就暴露出来了。数学家们认识到，有必要仿照欧几里得的几何学，为微积分奠立牢固的逻辑基础。参与这项工程的，有柯西（Augustin-Louis Cauchy，1789–1857）、黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826–1866）、刘维尔（Joseph Liouville，1809–1882）、魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass，1815–1897）等人。这其中，魏尔斯特拉斯对函数连续性与可微性之间关系的证明，让人拍案叫绝。

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魏尔斯特拉斯和他的病态函数

卡尔·魏尔斯特拉斯是数学史上的灰姑娘。魏尔斯特拉斯在波恩大学的学习是为了当公务员作准备的，这与其数学爱好相冲突。魏尔斯特拉斯坚持自学数学，结果弄得没拿到大学毕业证。他后来转往明斯特学数学，其后辗转几所中学靠教数学、物理和植物学谋生。1854年魏尔斯特拉斯发表了一篇关于阿贝尔（Niels Henrik Abel，1802–1829）积分的论文，奠定了其作为数学家的地位，其后他转往柏林工业大学和柏林大学（今柏林洪堡大学）任数学教授。

图片来源：《惊艳一击：数理史上的绝妙证明》

德国数学家魏尔斯特拉斯

魏尔斯特拉斯的工作赋予了分析以逻辑精确性，他因此被称为现代分析之父。所谓的逻辑标准，意味着严谨的、普遍的和不可或缺的。魏尔斯特拉斯给出了函数连续的形式定义：如果存在任意的和，只要使得，必有，则意味着函数  在 处是连续的。这个定义是代数的而非几何的，其核心是不等式。这个工作相比之前柯西的定义，避免了“趋近于”的含混说法。另一个函数性质是可微性，即可通过

求导数。魏尔斯特拉斯对函数分析的思考所得出的一个发现是，连续性和可微性不是点态函数极限可继承的特性。什么意思呢？设有函数序列，是这个函数序列的点态极限（函数序列在点上之值的极限）。我们会发现，函数具有的性质，函数作为点态极限未必有。魏尔斯特拉斯给出了一个比较容易理解的案例。考察函数序列

对于任意的 k，函数 都是在变量的整个空间连续地从 0 经过 1 然后变化到 0 的。然而，函数点态极限   的值为

在 x＝π/2处它不是连续的！

魏尔斯特拉斯最惊人之处是，作为对函数之连续性与可微性关系的证明，给出了一个意想不到的病态函数（pathological function）。关于函数的连续和可微分，一般来说可微是比连续更强的要求。一个函数可以是处处连续的，但在有些地方是不可微分的，例子俯拾皆是。比如函数 y＝|x|，它是处处连续的。但是，在 x＝0 的两侧这个函数分别是 y＝x 和 y＝－x，显然在 x＝0 处微分不存在。函数可微有时和函数的光滑性是同义词。

图片来源：《惊艳一击：数理史上的绝妙证明》

魏尔斯特拉斯1872年提交的关于病态函数的论文

人们一度认为，连续的函数虽然不能处处可微（不是处处光滑的），但总该“差不多总是”光滑的，即在不连续的点之间总还是存在有限的区间，其上函数是可微的。十九世纪前半期出现的关于微积分的论著，大约都持这种观点。魏尔斯特拉斯认为这种观点缺乏坚实的逻辑基础。不过，如果认为这种观点是错的，总需要给出个证明。1872年，魏尔斯特拉斯向柏林科学院提交了一份论文，其中有他构造的一个函数，这个函数处处连续，但处处不可微！这个函数就是

其中 a≥3 是个奇数，b 是 0 与 1 之间的常数，满足 ab＞1＋3/2 π。这个函数是无法绘图的，因为我们有限的分辨率总会使得这条曲线看起来在有些地方是光滑的。此函数一出，天下震惊。认为连续函数总还是会在某些区间上可微的信念，瞬间崩塌了。

图片来源：《惊艳一击：数理史上的绝妙证明》

魏尔斯特拉斯病态函数的近似图像—任何部分经过任意倍数放大都依然是锯齿状的

多余的话

魏尔斯特拉斯关于函数连续不意味着存在光滑区间的证明，有点儿类似要证明“不是所有的天鹅都是白的”。只要找到一只黑天鹅，就算证实了“不是所有的天鹅都是白的”。给出了一个处处连续但处处不可微的函数，就算是证明了函数的连续性意味着存在光滑区间的想法是错误的。这样的证明，相较于哥德巴赫猜想或者费马大定理的证明，愚以为也未必有任何逊色处，有人不服气的话尽管也去构造一个处处连续、处处不可微的函数好了。即便是在魏尔斯特拉斯之后约150年的今天，能够构造出一个那样的函数依然能确立一个人的数学家地位。魏尔斯特拉斯是怎么想到这个函数的，笔者手头没有确切资料，但是前述关于点态函数极限的研究必然扮演了前驱性工作的角色。

灵感是在实践中迸发的。聪明的脑袋转个不停，才会冒出思想的火花。

值得一提的是，魏尔斯特拉斯也是MacTutor of Masters（大师的大导师）类型的人物。其门下英才众多，康托（Georg Cantor，1845–

1918）、弗罗贝尼乌斯（Ferdinand Georg Frobenius，1849–1917）、基灵（Wilhelm Killing，1847–1923）等对学数学者都是如雷贯耳的大名。然而，他门下还有柯瓦列夫斯卡娅（Sofia Kovalevskaya，1850–1891，女）、龙格（Carl Runge，1856–1927）、熊夫利斯（ArthurMoritz Schönflies，1853–1928）这些与物理学有关的杰出人物。柯瓦列夫斯卡娅和龙格（见于计算数学里的 Runge-Kutta 法，散射问题里的 Laplace-Runge-Lenz 矢量）的名字人们应该在经典力学中见到过，至于熊夫利斯的大名，那是学固体物理的人绕不过去的。

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