不知道大家有没有过这样的经历

图片翻译自 @smbc-comic

虽然不管是我们的数学老师还是物理老师都一直教导我们，在思考问题的时候不要陷入到计算的细节。但是有句话是这么说的，计算不是万能的，没有计算是万万不能的。

比如无论多么精巧的几何问题，在笛卡尔发明了解析几何之后，无论如何你都有最后一手暴力计算。如果一个方程组解决不了问题，那就再加一个方程组。

但是在东西算多了以后，你往往会迷茫，我是谁？我在哪？我要算啥？迷失在一个又一个的数学技巧里面。现在大家都说无图言X, 今天我们就来介绍介绍那些巧妙的用一张图就写完的证明。

不 等 式

Inequality

在初学不等式的时候，往往会遇到几个奇奇怪怪的平均数。什么算术平均数

还有几何平均数

那时候既搞不懂两个都是数，为什么一个叫算术一个叫几何，也分不清楚哪个不哪个大，每次到了要用的时候还要现算一下。

直到后来看了这个……

上图中的半圆直径长度为 a+b，所以半径的长度为 (a+b)/2，也就是 a 和 b 这两个数的算术平均值。利用射影定理，只要沿着 a 线段与 b 线段的交点做一条垂线，我们就能得到几何平均。

射影定理也被称为欧几里得定理，或者第一余弦定理。其内容为在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项。事实上，这个操作也是我们在尺规作图时，对一个数进行开方运算的方法。

巧妙的证明并不止上面这一种，利用相交弦定理（弦被定点所分成的两线段的积为定值）我们可以得到另一个证明。

最后给大家来个终极必杀技，还囊括了平方平均和调和平均的一图流。

连续奇数求和

Sum of Odd

什么都不说了，一张图终结这个问题

立方数求和

Sum of Cubic Number

图中均为正方形。上图中正方形的边长恰好和该正方形的个数相等。边长为偶数时，正方形会出现重叠，但是重叠部分正好和空白部分面积相等，也就得到了最上面的立方和公式。

平方数求和

Sum of Square

我们已经知道了，一个数的平方和可以拆解成一串奇数的和。那么，在上图第一个三角形中，每一行都对应着一个平方和。把这个三角形旋转到各个方向上再求和，我们就能够得到一个每个格点上均为 2n+1 的三角形。而 2n+1 的个数是很好数的，正好为 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2 。再考虑到我们把平方和计算了 3 遍，我们最终就能够得到平方和的求和公式。

斐波那契数列

Fibonacci Sequence

相信大家对斐波那契数列都不陌生了。1, 1, 2, 3, 5, 8, 13……任意一项为其前两项之和。关于斐波那契数列每一项的平方之和也有一条神奇的关系。

勾股定理

Pythagorean Theorem

原本位于大正方形两个角落的小正方形的面积分别为 a 的平方和 b 的平方。通过平移三角形，我们发现空白部分的面积正好为 c 的平方，也就是勾股定理。

维维亚尼定理

Viviani's Theorem

定理的内容是在等边三角形内任意一点P跟三边的垂直距离之和，等于三角形的高。

利用正三角形各个边上的高相等，我们可以通过旋转和平移把这三条线段「拼」在一起。

填充蛋糕小游戏

Fill the Plate

最后来个大家玩一个很有趣的题目。我们有一堆菱形的小蛋糕，现在需要用这些小蛋糕来拼满一个正六边形的盘子，如下图所示。可以看到，小蛋糕一共有三种朝向。问题来了，这三种方向小蛋糕各占了多少比例？

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三个方向的小蛋糕数量均相同。我们可以给图片染了个色，现在看见这个「立体图」，每个方向上的小蛋糕之和都对应了相同的正方形。

更取巧的方法是通过对称性分析。我们可以通过旋转操作把不同方向的小蛋糕进行轮换，没有一个方向是特殊的，自然所有方向上的小蛋糕数量都是一样的。

参考内容

Nelsen, R. B. (1993). Proofs without words: Exercises in visual thinking (No. 1). MAA.