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你觉得自己懂加减乘除吗?| 袁岚峰

袁岚峰 风云之声 2021-06-23


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导读


从自然数到八元数,你明白加减乘除了吗?


你觉得自己懂不懂加减乘除?
我的科大校友、中国科学院物理研究所研究员曹则贤博士,写了一篇文章《少年,要上大学了吧?学点加减乘除呗》,介绍了加减乘除概念的演变。我相信大多数人看了以后,会发现自己不懂加减乘除。
实际上,他介绍的是数的扩展过程。
最初,我们很容易就能接受自然数:1、2、3、4等等。
然后,为了表示像3 - 3这样的数,我们引入了0。
然后,为了表示像3 - 5这样的数,我们引入了负数。
此外,为了表示像3/5这样的数,我们引入了有理数。
然后,有一个重大发现,根号2不是有理数(你知道怎么证明吗?),即它不能表示成两个整数的商。为此,我们不得不引入无理数。有理数和无理数的整体,就是实数。
然后,即使在无理数内部,也有些无理数是比较简单的,有些是比较复杂的。例如根号2就很简单,它是
x2 - 2 = 0
这个整系数方程的根。而圆周率π就很复杂,它不能表示成任何整系数方程的根(你知道怎么证明吗?)。我们把能够表示成整系数方程的根的数称为代数数,把不能的称为超越数。超越数的存在,就是一件惊人的事。
然后,在解方程时,我们会遇到负数开平方。这该怎么办呢?为此,我们引入了复数,即a + bi,其中i是-1的平方根。
复数可以理解为二元数,即由两个实数组成的一个整体。这些二元数可以按照一定的规则进行加减乘除,而且加减乘除的结果仍然在二元数的集合之内,这叫做“封闭性”。一旦你这么理解,问题立刻又来了:能不能扩展到更多元的数呢?
直截了当的想法是,下一个应该是三元数。数学家哈密顿(William Rowan Hamilton,1805 - 1865)思考了十几年,想提出三元数,但一直不成功。直到1843年的一天,他突然意识到,要满足加减乘除的封闭性,下一个至少需要是四元数,而不是三元数。

哈密顿(William Rowan Hamilton 1805~1865) 
就这样,我们从自然数出发,一路狂奔到了四元数。一个四元数可以写成a + bi + cj + dk,其中a、b、c、d是实数,i、j、k是三个单位虚数,它们的乘法是反对易的,即
ij = -ji = k。
由此导致,四元数不满足交换律,即
p × q一般而言不等于q × p。
这跟实数和复数是个巨大的区别。
这还没完。继续扩展会得到什么?
受到哈密顿的启发,同样是在1843年,另一位数学家John Graves提出了八元数。八元数连乘法的定义都不唯一了,有480种可能的定义。八元数既不满足交换律,也不满足结合律,即
p × (q × r)一般而言不等于(q × p) × r。
虽然这么复杂,八元数还是有个优点:它满足加减乘除的封闭性。再扩展就不行了。有一个定理叫做Hurwitz定理,它说的是:只有1-, 2-, 4-, 8-元数(即实数、复数、四元数、八元数)有除法,即两数相除还是那种数。

八元数示意图

Hurwitz定理
所以,我们终于可以告一段落了。现在,你觉得你懂加减乘除了吗?

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背景简介:袁岚峰,中国科学技术大学化学博士,中国科学技术大学合肥微尺度物质科学国家研究中心副研究员,科技与战略风云学会会长,“科技袁人”节目主讲人,安徽省科学技术协会常务委员,中国青少年新媒体协会常务理事,入选“典赞·2018科普中国”十大科学传播人物,微博@中科大胡不归,知乎@袁岚峰(https://www.zhihu.com/people/yuan-lan-feng-8)。
责任编辑陈昕悦

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