空间维度怎么计算 13

本系列文章预计会有30个章节，这套文献将系统讲物理学系统本身，这里是第九季第13篇

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Hello，大家好，这里是Masir的物理学第九季专栏，我们再扩展讨论下关于分形的概念。

我们知道，分形是一种复杂的几何形状，能够在不同的尺度上展现出相似的结构。分形在自然界中广泛存在，例如山脉、树木、云朵等。分形的性质并不是普通的整数维度（1维、2维、3维等），而是分数维度，这也是“分形”一词的来源。

分形结构，就是你把这个东西的局部放大，发现它和它的整体很相似，再找个局部再放大，又跟刚才很相似，可以这么一直下去，也就是“自相似”。

像海岸线、树杈、树叶都具有分形的特点。下面是一片叶子也是：

从中选择一个局部（红框）放大，也像是一片叶子。

再来看一个抽象但是严格的分形👇（上一讲我们聊过，再细化探讨下）

1904年，瑞典数学家柯赫设计了一条被称为“柯赫曲线”的图形，也满足处处连续处处不可微的条件。

柯赫曲线的生成过程很简单，以雪花曲线为例：先给出一个正三角形（作为原始形状），然后使每个边中间三分之一向外折起，这一操作常称作迭代规则，于是生成了一个有6个角12个边的对象。

第二步在此基础上，将每个小边中间三分之一去掉并向外折起。重复此操作，经过无穷次操作就得到了极限图形——柯赫曲线。

用柯赫曲线来模拟自然界中的海岸线是相当理想的。

这条想象中的曲线任何一部分都是一样的形状，不管你怎么放大都可以。

这个曲线叫做“科赫曲线（Koch curve）”，它的生成方法下面这样的 ——

先取一条直线，把它三等分，然后在中间的线段向外突出一个三角形。然后再对新的每一条边做这个操作，以此类推，以至于无穷。

好，这就是最基本的分形概念。现在我们要做的是测量分形的“维度”。为此，咱们先看看“正常”形状的维度是怎么算的。

看下面这个示意图。

把一条线段2等分，你就得到两条线段。

把一个正方形的边2等分，你就得到4个正方形。

把一个立方体的边2等分，你就得到8个立方体。

其中的4和8，分别是2的2次方和2的3次方。—— 这个“2次”和“3次”，就是正方形和立方体的“维度”。

现在咱们把这个概念推广一下。以此类推，如果你把一个东西的边，分成 r 等分，你就得到了 N 个小东西，然后

那么这个 D，就是维度。正方形，D=2，说明是2维的；立方体，D=3，是3维的。那反过来，取个对数，我们也可以说

这就是计算任何图形的维度的公式。那咱们来算算前面那个科赫曲线的维度是多少。注意，这不是一条平常的曲线，这是一条想象中的、细节无限可分的曲线。

按照最基本长度的1/3为一段分段，横向分3段的话，这条曲线的长度是4段，相当于上图中第二条曲线。

按照1/9的长度分段9段，曲线的长度是16段，以此类推。也就是说，r=3, 则 N=4；r=9，则 N =16，……注意 r 和 N 的变化是这么一直以乘方的形式变，而取对数再做除法，所有的乘方就都被消除了，所以维度永远都是

就是分形特殊的数学性质！一般的线都是1维的。科赫曲线明明是一条线，但因为它是一条特殊的、中间有无限细节的线，它居然不是1维，而是1.26维！

这个结果就是说，分形，可以增加维度 —— 出现了分数维，所以才叫“分”形。

好，那我们再看一个更特殊的情况。

把科赫曲线中那个三角形的夹角无限地缩小，以至于变成中间突出的一条线段，这么一直分形下去是什么结果呢？是下面第四个图的样子 ——

这条特殊的科赫曲线布满了它所在区域范围内的整个平面！相应的维度 = 2。也就是说，它已经不再是“线”了，它已经变成了一个“面”！

具体解释下：如果我们考虑一个线段，每次迭代都在其上增加无数个小的“波动”或“凹凸”，并且这些“凹凸”的大小和角度持续减小，这条线将会变得越来越不规则和复杂。

在极限情况下，即每个点都成为一个“断点”时，这条线将充满整个二维空间，从而分维数会趋近于2。

换句话说，如果你让科赫曲线中的三角形夹角无限地缩小，那么科赫曲线会变得越来越复杂，并且在极限情况下，其维数会趋近于2，因为它会尽可能地填满二维空间。

这种情况下，科赫曲线的分形维度将会是2。

当你把一条线铺满整个平面的时候，它就多出来了整整一个维度。这是今天分形告诉我们的最重要消息。

当分形维度达到2时，这个分形结构将在某种意义上变得类似于一个平面，尽管它仍然是由一条线构成的。分形维度为2意味着该结构已经变得如此复杂，以至于它在几何上表现得更接近于二维平面而非一维线段。

当我们说一个形状是二维时，通常意味着它可以完全充满一个平面。在这种情况下，虽然科赫曲线仍然是由线段构成的，但由于其无穷的复杂性和细节，它可以在几何上充满二维空间，因此我们说它的分维数为2。

要记住，这并不意味着科赫曲线真的变成了一个填满了所有空间的平面，而是说它的复杂度和填充性已经达到了与二维平面相似的水平。实际上，无论多么复杂，科赫曲线仍然只覆盖了二维空间中的一个零测集（即它没有体积或面积）。

好，关于三维及高维我们以后有机会再深入谈谈。

总之，分形其实可以作为一种工具，帮助我们理解和探索高维空间和复杂结构，从而深化我们对宇宙中复杂现象的理解。