千年之谜（七）霍奇猜想 ：通天巴别塔（大结局）
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数个世纪以来，数学家在纯粹的基础数学领域已经走得非常深远，以至于将现实的世界远远地抛离在身后。
为了总结事物的本质，许多艰深的概念和工具被发明出来。比如为了解决一元五次方程是否有解，法国的天才数学家伽罗瓦（Galois）创造了群论。群论不仅为数学的领土拓展了一片极为广阔的领域，且不负众望地成为了20世纪后现代物理的基石，甚至在量子化学、计算机科学、量子理论等都有十分重要而广泛的应用。
图1 伽罗瓦（1811-1832，图片来源：维基百科）
一个表述都难以统一的猜想
现代数学自群论的诞生以来，越来越倾向于提炼出对事物本质抽象的认识。一百多年以来，数学家们在抽象的基础上继续建立更深的抽象，每一层次的抽象都更加远离我们日常的经验世界。以群论为例，我们通用的“加、减、乘、除”则被抽象为四种运算法则。霍奇猜想，则是现代数学极端抽象体系下诞生的难题。作为高度专业的问题，它处理的对象与人们的直觉相去甚远，以至于不但对猜想本身的对错难以下判断，甚至连问题本身的表述都在寻求建立真正的共识。这个由英国数学家霍奇在1950年代提出的猜想，其一般的表述如下：
“一个非奇异射影代数簇的每一个（一定类型的）调和微分形式都是代数闭链的上同调类的一个有理组合。”
图2 霍奇（1903-1975）和霍奇猜想（图片来源：ma.utexas.edu）
了解霍奇猜想的故事则需要从17世纪去寻找源头。彼时，法国科学家笛卡尔（Descartes）发明了解析几何。从古希腊时期就开始被人们研究的几何问题几乎在一夜之间改头换面。人们发现，用笛卡尔的方法，通过解方程的代数方法就能完成几何问题的逻辑论证。比如每一条平面上的曲线都可以用唯一的一个代数方程来描述。寻找某些图形的几何性质就被转化为寻找相应方程解的信息。
图3 笛卡尔（1596-1660，图片来源：维基百科）
19世纪，数学家尝试推广笛卡尔的方法。他们从一些代数方程入手，把这些方程的解定义为“几何”对象。以这种方式从代数方程产生的对象，就被称为“代数簇”。霍奇猜想中，“非奇异射影代数簇”指代的是由一个代数方程的解所生成的光滑的多维物体的“表面”。
图4 陶里亚蒂表面，即光滑的多维表面（图片来源：维基百科）
微积分的推广
另一方面，“调和微分形式”是源自于物理或者复变函数研究的偏微分方程的某个解。牛顿和莱布尼茨建立的微积分最早是应用在平面或者空间里的工具，数学家们则很容易将微积分的概念推广到曲面甚至代数簇上。霍奇猜想里的微积分就是推广到一个非奇异射影代数簇上的微积分。猜想本身则断言，对某种特殊类型的对象而言，用微积分的形式来定义该对象时，虽然它们本身不一定是“几何对象”，但是却能以一种相当简单的方式由几何对象构建而来。用通俗的话语来说，任何一座复杂宏伟的宫殿，都可以用积木堆垒而成。
进入20世纪下半叶以来，数学家不断地寻找不同数学领域之间的联系，试图将一个领域的难题转化为另一个对应领域的问题，以期用对应领域成熟的手法来获得问题的完满解决。比如在数学中大名鼎鼎的朗兰兹（Langlands）纲领，就是连接数论、代数几何与约化群表示论的桥梁。著名的费马大定理，就强烈地依赖于数学家将数论中的难题转化为椭圆曲线的性质而得以解决。
研究霍奇猜想将对人们提供分析某些复杂对象的强有力的结构，对它的完全证明将在代数几何、分析和拓扑学建立极其深刻的联系。
结语
七大千年难题的进展将极大地改变人们对基础理论和世界本源的认识，每一个谜底的揭晓，都将打开一座隐匿在宇宙真理森林里的宝库。七大难题就宛如七座灯塔，在迫切地等待着点燃它的火炬手。如今，守护庞加莱猜想的灯塔已经灯光闪烁。人们有理由相信，总有一天，七座灯塔都将灯火辉煌。灯塔点亮之时，不仅意味着人类智能的巅峰成就，更为子孙后世照亮绚烂光明的未来。希望那一天，不会让人们等待太长。（全文完）
作者寄语：
说，永远比做容易1万倍。
当我有了为世界七大数学难题创作的想法时，就知道这是一个极具挑战的征途。要用简单流畅、通俗易懂的语言描述七大难题的前世今生，不仅仅需要了解这些前沿的艰深课题所带来的认知困难，还要梳理出一条清晰的历史脉络，理解那些在真理海洋中扬帆探险的前辈英雄。
幸运的是，那些特立独行的科学家，以其执着的精神追求和深远的精神世界，向人们揭示了七座隐藏着世间真理的辉煌宝藏，也激励着我记录下那一幕幕先行者的艰辛往事。
数千年来，数学的发展和人类其他的政治、经济、文化、科技等活动一起，构成了人类历史的宏伟蓝图。
致敬，这些为我们在黑暗中寻找光明前程的勇士！
感谢，我们都能参与到这样一个伟大的历史进程当中！
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作者单位：中国科学院数学与系统科学研究院
（文章首发于科学大院，转载请联系cas@cnic.cn）
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