惊天动地，数学家张益唐攻克 Landau-Siegel 零点猜想，11月8号他亲自做报告对此进行讲解

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张益唐，北京大学78级校友，北京大学闵嗣鹤数论研究中心名誉主任，北京大学客座教授，加利福尼亚大学圣巴巴拉分校教授，在孪生素数猜想的研究中取得里程牌式的突破进展，受邀在2014年首尔国际数学家大会上做特邀报告，获罗夫·肖克奖-数学奖、弗兰克·奈尔森·科尔数论奖、麦克阿瑟天才奖等诸多奖项。

张益唐攻克朗道-西格尔零点猜想的论文，来了！

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111页论文，满满当当全是表达式。论文释出之前，张益唐证明这一黎曼猜想相关问题的消息，早已震动数学界。

就有专家教授表示：

张益唐要是能把Landau-Siegel做出来，就相当于一个人被闪电击中两次。

而张益唐自己也说，攻克朗道-西格尔零点就像是大海捞针。

整个过程我把海底的情况都摸清楚了，后来发现不用这根针，我也能把它做出来。

关于这项成果的意义，张益唐则认为：

比孪生素数猜想的意义更大，朗道-西格尔零点猜想有点像黎曼猜想那样，它一解决，一百个猜想都变成定理了。

完整论文，我们文末奉上下载地址。

朗道-西格尔零点猜想

所谓朗道-西格尔零点猜想，简单来说就是黎曼猜想的某种弱形式。

核心要回答的一个问题就是：是否存在一个叫做朗道-西格尔零点的东西。

首先我们设实数σ，t和复数s=σ+it。

根据知乎博主“TravorLZH”的介绍，十九世纪的数学家为了研究素数分布引入了黎曼猜想。

而为了研究等差数列上的素数分布，数学家Dirichlet引入了L函数。

再后来，数学家也发展出了对应的解析工具来说明L函数在σ=1时无零点，从而证明了等差数列上的素数定理：

但对于上面的公式，数学家们依旧是不满意，他们还要继续缩减L函数的非平凡零点的存在区域。

于是前人证明了L函数的非平凡零点基本上都能落在类似于下面公式中的沙漏型的区域：

如果L函数所有的非平凡零点都落在这个区域内，就可以得到带余项的等差数列素数定理。

可惜的是，数学家Edmund Landau发现当X满足特殊性质时其对应的L函数可能会出现落在上面公式之外的异常零点（exceptional zero）。

但幸运的是，Landau证明了对于每个这样的L函数，若下面区域中存在异常零点，则这样的零点只可能出现一个，而且阶数也恰好只能是一。

后来Walfisz利用这个更弱的非零区域得到了一个妥协版的等差数列素数定理：

很明显，这个公式的限制条件要多了许多，所以大家当然希望L函数能够没有异常零点。

由于Landau和Siegel两位数学家在L函数异常零点这个领域里做了开创性的工作，所以异常零点也常常被称为Landau-Siegel零点。

而断言L函数没有异常零点的猜测就被称为Landau-Siegel猜想。

整体来看，其实广义黎曼猜想恰好是Landau-Siegel猜想的充分条件。

但这一个世纪以来的研究表明Landau-Siegel问题可以比黎曼猜想还要难解决。

实际上，关于朗道-西格尔猜想，早在07年张益唐就曾在arXiv上发布一篇论文，但是里面的论证有些Bug。

有意思的是，在与北大校友交流时，张益唐透露，一开始，他并没有很系统地去研究这个猜想。

但当今年的新晋菲尔兹奖得主詹姆斯·梅纳德（James Maynard），2020年在他的基础之上，把“孪生素数猜想”的结果又改进了一大步，张益唐心想：

我一定要做出一个更好的东西。

每天12小时思考数学问题

上面这则趣闻，出自北京大学大纽约地区校友会主办的张益唐线上交流座谈。

在其中，还有更多关于这位世界级数学家真实的一面。

在此，我们附上QA环节的部分文字整理：

主持人：研究和生活中觉得最困难的时候是如何坚持下来的呢？

张益唐：如果是指2013年之前（张益唐在2013年证明孪生素数猜想），那可能是我这人天性比较淡泊，我对生活要求很低，所以我也没有太多的困难。

尽管看着别人挣钱多，也不能说没有一点不平衡，但总的讲我还是能坦然处之的。

就是我只要有钱能够花，尽管弄得我太太不高兴（全场大笑），但我还是不觉得太困难，我还是能够坚持下来。

主持人：您如何维持对一件事情的专注？

张益唐：这是一种习惯，某种程度我都觉得是不是我得了一种强迫症。就说你想停都停不下来了。

比如朗道-西格尔零点问题。就是我刚才说大海捞针，最后我也觉得这个针大概是没有了，捞不到了，可还是停不下来。

某种程度上，如果说你一旦真的是完全被吸引住的话，不用刻意怎么样去维持，自然应该就是能够维持的。

主持人：平均每天花多长时间思考数学问题？

张益唐：坦率讲我一天至少思考12个小时以上。

因为我可以不写，不看书，我可以在走路，或者干别的什么事。但我可以一直想这个问题，所以实际上应该是非常长的。长到连我太太都要骂我。

我顺便提一下，就是当我的结果快完成的时候，我几乎是每天晚上做梦都在想这个。而且非常有意思，总觉得这一步还不对，还有问题，弄得挺烦恼，几乎每天都是这样。

主持人：您如何看待学术上的竞争与合作，比如读书时与同门之间的竞争、毕业后与同行之间的竞争。您是如何调整心态？

张益唐：我觉得竞争是正常的。不要说在学术上，就说人有没有心理不平衡的时候，这多少都会有的。

比如我最近遇到的一次，就是那个英国年轻数学家梅纳德（詹姆斯·梅纳德），他在孪生素数这个问题下，一下把我给超过去了，而且超过了不少。

你说当时我的心理是什么样的？我也不管了，反正我已经出名了。（全场大笑）

没有。其实朗道-西格尔零点问题，我以前就开始在想了，但没有那么系统地想。但就是这样，我就下决心我一定还要做出一个更好的东西。

而在今天我敢说这句话，我已经把它做成了。

主持人：关于数学等基础科学的应用化，张师兄怎么看？

张益唐：数学里头很多东西都已经被应用，而且正在发现越来越多的应用，特别在物理在工程上什么的。

即使有一些现在还没有找到应用的，比如像纯粹的解析数论要解决的这些问题，我相信早晚也会发现它是能应用的。但具体这个时间我还不能预测。

另外我们不能说因为这个东西现在暂时没有应用，或者找不到应用，就轻视它。

基础数学、基础科学的这个研究，它不仅将来会具有潜在的应用，它也是衡量一个民族，一个国家，你的文化程度，你的发达程度，这一点是不能忽略的。

附录：朗道-西格尔零点问题的由来

朗道-西格尔零点问题（猜想）是解析数论的主要问题之一，就是要证明朗道-西格尔零点不存在。

这个问题可以追溯到19世纪德国数学家狄利克雷对算术数列（arithmetic progressions）的研究。算术数列是形如 kq+a （k≥1，a和q互素）的数列，例如 4k-1。这类数列中是否有无穷多个素数在当时是不清楚的，只知道素数有无穷多，那是已经被古希腊的欧几里得证明了的定理。欧拉使用实 zeta 函数 ζ(s) 

给出了素数有无穷多的新证明，证明的关键是使用如下的欧拉恒等式把 zeta 函数和素数p联系了起来。

狄利克雷在1837年发表的一篇论文中，发展欧拉的方法，证明了算术数列中有无穷多个素数。他首先引入了一类算术函数叫做模q的狄利克雷特征 χ(n)——定义在自然数集上周期为q、取值为复数的函数，并且当n与q互素时，|χ(n)| = 1，否则等于0。当 q > 2 时，这样的算术函数不止一个。

接着，对于每一个狄利克雷特征，他构造出如下的级数：

现在叫做狄利克雷 L 函数（可以用狄利克雷判别法证明它的收敛性），然后通过分析得出一个重要的发现：如果  χ(n) 不是主特征——当n与q互素时取1，狄利克雷 L 函数在 s=1 处不为0（χ₁ 表示主特征）：

利用这一发现，以及带有狄利克雷特征的欧拉恒等式，他证明了算术数列中有无穷多素数。这个证明的巧妙之处在于狄利克雷特征如同筛子一样，把算术数列中的素数挑了出来。

1846年，黎曼进入哥廷根大学读书，中间去柏林大学学习了两年，上过狄利克雷、雅可比和艾森斯坦的课，从狄利克雷那里学到了数论。回到哥廷根后，他在高斯指导下完成了博士论文。1859年，黎曼被任命为柏林科学院物理数学学部的通讯院士，提交了一篇只有八页的论文《论小于给定数值的素数的个数》。这篇论文的主要内容是揭示了 zeta 函数在延拓到复平面上后，它的非平凡零点的分布决定了素数的分布。

这启发法国数学家雅克·阿达玛和比利时数学家瓦莱·普桑各自在1896年证明了 zeta 函数在 σ = 1 的直线上不等于零（s = σ + it，σ 是复数 s 的实部），进而证明了素数定理。素数定理由勒让德和高斯各自独立提出，给出了素数分布的近似公式，但是没有证明，是当时数论中最重要的问题。

生于波兰的奥地利数学家弗朗茨·梅尔滕斯（Franz Mertens）在1898年改进了他们的方法，利用的是一个简单的三角不等式（[1]）：

普桑在完成素数定理的证明后，开始考察 zeta 函数在直线 σ = 1 的左边的非零区域。通过使用上面的三角不等式，得到了在区域

这个非零区域后来被英国数学家李特尔伍德、德国数学家朗道、前苏联数学家维诺格拉多夫和科罗博夫逐渐扩大，但仍然是直线 σ = 1 的左边一个非常薄的区域，并且和 t 的取值有关。相比之下，下面的黎曼猜想（Riemann Hypothesis）要强的多：

零点是函数等于0时自变量的值。对于zeta 函数来说就是复平面上使得 ζ(s)=0 的点。带状区域 0 ≤ σ ≤ 1 叫做临界带，位于临界带内的零点被称为 zeta 函数的非平凡零点。临界带之外的零点叫做平凡零点，它们是全部负偶整数 -2， -4， -6，......。直线 σ = 1/2 叫做临界线，所以黎曼猜想可以表述为 zeta 函数的非平凡零点都在临界线上。

这个猜想也是出自黎曼1859年的那篇论文，但在当时几乎无人问津。在希尔伯特把它列为20世纪23个数学问题之后，开始引起注意，许多一流的数学家参与其中，但是除了证明了一些特殊情形外，至今都没有解决，成为最著名的数学难题，也是千禧年七个大奖问题之一。

如果反常零点存在，广义黎曼猜想将不成立。

朗道和西格尔师徒二人对反常零点做了更加深入的研究，所以这个反常零点如果存在，也叫做朗道-西格尔零点。朗道发现，对任意的 q ≥ 3 ，仅可能有一个实原特征使得 L(s, χ) 有唯一一个简单实零点，满足：

L(s, χ) 在1的附近是否为0 与 L(1, χ) 的下界密切相关。上文已经提到，L(1, χ) ≠ 0。狄利克雷在1839-1840年研究类数公式（class number formula）的论文中，给出了它的第一个下界。1935年，朗道和西格尔在同一期刊上同时发表论文，各自给出了 L(1, χ) 的新下界，西格尔的下界是通过改进朗道的结果得到的，是一个非实效的（ineffective）下界，也就是算不出来。由它得到一个非零区域：

这个估计中等式右边的 C 是一个关于 ε 的常数，也是非实效的（ineffective）的，算不出来。并且这个证明是以朗道-西格尔零点在区间 [1-ε, 1) 存在为前提的，因此没有消除朗道-西格尔零点。

L(1, χ) 实效（effective）下界的研究难度更大，今年菲尔兹奖得主玛丽娜·维亚佐夫斯卡的导师唐·查吉尔教授、哈佛大学荣休教授本尼迪克特·格罗斯、哥伦比亚大学数学系教授戈德菲尔德等在这方面做出了重要的工作（[7]）。

不久前，张益唐教授在北京大学大纽约地区校友会的一次活动上透露自己解决了朗道-西格尔零点（Landau-Siegel Zeros）问题。今天这篇论文已经公开。文中，张教授给出了L(1, χ) 的一个新的实效下界：

期待国内外同行的评价。

（根据和乐数学公众号推送的消息，张益唐教授的论文已经上传到arXiv，目前还没有显示出来。有兴趣的读者可以从它提供的百度网盘上下载：https://pan.baidu.com/s/1GM61FrLynSfpSn67SoaHow?pwd=1105）

[1] Harold Davenport, Multiplicative Number Theory, 

[2] 潘承洞，潘承彪，《解析数论基础》。

[3] Andrew Wiles. The Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, https://www.claymath.org/sites/default/files/birchswin.pdf

[4] J. B. Friedlander, H. Iwaniec, The temptation of the exceptional characters. Exploring the Riemann zeta function, Springer, Cham (2017), 67–81.

[5]  https://mathoverflow.net/questions/131221/yitang-zhangs-preprint-on-landau-siegel-zeros

[6] https://arxiv.org/abs/0705.4306

[7] P. Sarnak and A. Zaharescu, Some Remarks on  Landau-Seigel Zeros, DUKE MATHEMATICAL JOURNAL Vol. 111, No. 3,  2002.

[8] Henryk Iwaniec Emmanuel Kowalski, Analytic Number Theory,

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关于朗道-西格尔零点猜想张益唐教授本人在11月8日上午自己也会讲解，详细信息如下：

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