其他
林开亮：680年前的一个方程
前言
请读者先思考一下如何证明。
本文开启付费阅读的目的是为了将证明部分隐藏起来，给大家思考的空间。如果你对该问题真正感兴趣，可付费8元（=80微信豆）查看证明方法。
今天偶然了解到, 680 年前，有位叫 Levi ben Gerson(1288– 1344) 的法国学者，写了一本书《数之和谐》(The Harmony of Numbers)，书中证明了以下结果：
定理 1 (Levi ben Gerson, 1342)。方程
(1)
的非负整数解仅有四组：
= (1, 0, 0, 0) （2）
(给出2 − 1 = 1)
= (0, 1, 1, 0) （3）
(给出3 − 2 = 1)
= (2, 0, 0, 1) （4）
(给出4 − 3 = 1)
= (0, 2, 3, 0) （5）
(给出9 − 8 = 1)
你能证明吗?
自然，定理 1 是著名的 Catalan 猜想——现在已经成为 Mihăilescu 定理——的直接推论。但要知道，Catalan 猜想诞生于 1844 年，所以 Levi ben Gerson 的证明必定是与之独立，并且简单得多的。方程 (1) 比著名的费马方程也更早更容易。