观点 | 数学教育的感悟与思考
The following article is from 北京大学数学科学学院 Author 北大数院
观 点
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关键词：数学教育
编者按
“师者，传道授业解惑也。”三尺讲台尽显奉献，四季皆是孜孜不倦。
时值第37个教师节之际，数学科学学院收集、发布了多位北京大学数学教师们关于数学教育的感悟与思考，教务部公众号特此转载，与各位读者一同分享。
姜伯驹：要重视逻辑与技巧背后的思想
“我们都知道做事要‘乐在其中’才能做好，而兴趣是可以培育的，也是会发生变化的，所以老师在课上要进行适当引导，让没兴趣的同学产生一定兴趣，有兴趣的同学断续保持兴趣。空谈兴趣没什么意义，兴趣伴随着成就感，完全没有成就感你就完全没有兴趣。所以学习时遇到问题不要急躁，挑战也是机遇。老师帮助同学时，要注意给他个台阶，让他自己迈上来。这跟老师对课程内容的理解也有关系。老师经常能够说一些在书上看不到的事，帮助学生领会要点，那学生自然就会比较注意听。数学并不等于逻辑。逻辑是数学的工具，经不起逻辑考验的东西不能认为是数学上的真理。但是数学也有一种直觉的引导，其中有很多精彩的思想，抓住本质的东西，需要逐渐培养。老师要抓住每一个机会，凡是能够结合这些思想的地方，你就反复强调。老师在教一些技术性的内容时，要想办法使学生有进一步的体会，不要照本宣科。社会上很多人对教育的误解就是找一本书照着讲。对有经验的老师来说，教材不过是一个大体的框架，可以作为学生的参考材料，老师的思想展开不能受教材所局限，不能仅仅局限于逻辑的过程。”
张恭庆：教师的职责
“教学工作包含‘教’与‘学’两个方面。教师讲课不能光‘教书’，必须针对授课对象。了解学生的情况，例如，他们先修过那些课？学现在这门课的目的是什么？对哪些内容有兴趣？下课后了解不同学生听课的效果，对备下一堂课也很重要。教一门课，要先把这门课在数学中的位置弄清楚，特别是它与哪些数学分支有联系？是怎样联系的？然后决定取舍和重点。教数学不能仅仅满足于逻辑推理清楚，要讲思想，讲实质，要通过已知启发未知，透过典型的例子推测一般结论，要处理好抽象与具体的关系，理论与应用的关系。大学是传授知识与创造知识的地方，我认为评价大学的教学水平应该包含基础课和专题课两个方面。对基础课，要强调给学生打好基础，因此对于基本概念和方法的讲解要花大功夫，要‘少而精’，突出重点；对于最基本的内容要反复强调，要求学生牢牢掌握；对于基本技巧要反复练习，达到熟练。研究生专题课的目的则是把学生引向研究的前沿，教师要为学生铺平道路。因此选材特别重要。教师必须清晰地了解在浩如烟海的文献中，哪些是真正实质性的进展？哪些是新的生长点？有哪些未解决而有意义的问题？哪些方法还大有潜力？然后根据学生的基础，为他们搭好桥，做好铺垫。考虑到学生们今后的发展空间，选题不能过窄。”
谢衷洁：一些颠扑不破的真理
“有很多人都在问，教学工作应该怎么做才能做得好，这让我想起50年代的几个口号。这些口号当然是反映那个时代的政治思想状况，但是我想其中有一些在今天看来还是对的。当时很提倡这么一句话，叫做‘忠诚党的事业，当一名优秀的人民教师’，我想现在看来这仍然是对的。对教育事业我们要怀着一颗忠诚的心，要当好一名优秀的人民教师，这是前提。
还有一句话，是那时从苏联学来的，即教师是‘人类灵魂的工程师’。这个提法当然很高了，但是仔细想想，我们成长过程中的确受到很多老师的影响，教师这个职业是一个崇高的职业。因此，身为一名教师，我们应该具有使命感，热爱我们的教学工作，满腔热情地投入到教学工作中，这是搞好教学工作的根本条件。如果你不热爱这个职业，不满腔热情地投入到工作当中，那么你的知识再丰富，你的技巧再高超，也上不好这个课。现在几十年过去了，但回想起当时的那些口号，还觉得是颠扑不破的真理。”
丘维声：不要急于知道怎么做
而是要先明白怎么想
“我常常给本科一年级的同学上课，需要引导学生适应大学数学的学习。从高中到大学，学生在学习方法上的确需要比较大的转变。因此，在课堂上特别要注意怎样引导学生思考问题。就是我之前所讲的利用数学的思维方式——观察、抽象、探索、猜想、论证——来分析问题。拿到一个问题，特别要注意这个问题该怎么想，具体到论证的阶段，关键的想法是什么？要善于引导学生思考，不要急于把一步步怎么推理告诉学生。第一步该怎么走？我每次讲课的时候总要留一定的时间给同学思考，当然这一点时间不见得每个同学都能想出思路，但是让学生形成这个习惯。关键想法搞清楚了，之后一步步的推理就不是很难了。我总是叮嘱学生先不要急于知道怎么做，而是要先明白怎么想。把理论和概念掌握了，去指导做题，找到突破口就好办了。”
张顺燕：致广大而尽精微，澄其源而清其流
“关于怎么教学我讲几点：第一，‘致广大而尽精微’（这是《中庸》上的话）。任何一门课的学习和教学都要从整体和局部两个方面入手：既重视整体又重视细节，还要重视部分与部分的联系。在微观上重析理、明其幽微；在宏观上看结构、通其大义。第二是‘澄其源而清其流’。一件东西你要知道它是怎么发展来的，要把源流弄清楚。所以我写了一本书叫做《数学的源与流》。法国大数学家庞加莱说：‘若想预见数学的将来，正确的方法是研究它的历史和现状。’数学史为我们提供了广阔而真实的背景，为数学整体提供了一个概貌，使不同的数学课程的内容互相联系起来，并且与数学思想的主干联系了起来。这是理解数学的内容、方法和意义，培养鉴赏力和创造力的最好方法。第三，‘统于一而应于万’，就是以少御多，以简驭繁。如果学生能做到这一条就能够通透，举一反三。”
周民强：优秀教材是多年教学经验的集中体现
“我在教学中有一个经验，就是对教材特别重视。写好教材，首先要加强引导性论述。很多教材的缺点在哪呢？就是根本不提问题，也就是说很多教材都没有引导性论述，而我在教材的序言里面明确讲出来。比如讲‘实变函数’的时候，我就专门对经典的积分论进行评论。其次，需要多举例子。像‘实变函数’这样的课程，把理论运用到具体工作上去，实际上是一个飞跃性的过程，简单地去套公式不能解决问题。再其次，要有很多精致的‘附注’。这些东西课堂上没时间讲，但很有意思。在附注里，第一讲历史，当时对这个问题发生了什么争论，有人举什么样反例反驳等等。第二，进一步举例。有些问题在正文中讲了，在附注里再举例子，说这个条件有争议，它可能有反例，这样就引入一些稍微复杂的问题。同样这些问题学生可以不看，但看看有好处。第三，还会有数学家的传记。传记也挺有意思，学生们很爱看，可以让他们更爱学数学。”
陈家鼎：合理设计，用心引导
“我认为讲好课的三点指导思想：第一，恰当的处理逻辑上的严谨性与生动直觉的关系，使学生既有严谨的抽象思维能力，又有概率统计的直觉和对随机事件的想象力。第二，认真贯彻理论联系实际的原则。既要使学生掌握概率统计的基本理论，又要使学生认识这些理论如何灵活运用，从而培养学生解决实际问题的能力。第三，在内容上要突出重点。虽然社会发展很快，但教材方面，我们也注意吸收上世纪50年代我当学生时候的教材的可取之处。”
柳彬：把握上课的节奏
“我师从丁同仁老师，丁老师告诉我：不要把一门基础课讲得自己太投入，以至于到精彩的地方完全停不下来，这样底下的学生们往往已经跟不上了。你不能假设底下的听众会的跟你一样多，一定要假设他们会的很少。有经验的老师大概知道学生在哪里理解上会有问题，他就会对那块儿知识讲得更详细；没有经验的老师，他觉着都没有问题，就讲很快，但其实很多时候大家听不明白。丁老师要求我第一次上课，必须带一个班的习题课。通过习题课可以近距离地去接触学生，了解他们对讲课内容的理解和掌握程度。” “像我们以前数学分析习题课，大概两个小时做6至7道题。老师先把一道题写在黑板上，然后学生开始做，做完后老师找一个同学上去把做法写在黑板上，如果大家没有问题，这道题就过去了。还有不少同学写在黑板上的答案是典型错误，这个时候就可以有很多讨论。一定要让学生，尤其是刚入学的学生来讲自己的解题思路，这是好的学习方式。”
史宇光：传递数学科研的激情
“在教学中我倾向这个理念：数学是普通人也能接近的，也能理解的。之所以你当初没做到，觉得好像很可怕，是因为对数学的认知上有问题。教学要帮学生消除恐惧，建立数学的正确认知。要让学生感受到数学是有趣的，值得我去研究，甚至是付出终生的。所以授课就是要把科研的激情传递给学生，一切都是围绕这个核心思想展开。其他所谓的表达沟通技巧，参考书的挑选等都不过是各种各样的手段而已。要能让一些本来想学数学的学生，听了课之后觉得这个太有意思了。我觉得如果一个老师做到这一步，就说明他的课是成功的。”
吴岚：照顾到不同的学生
“当老师不光是把课‘讲好’，很重要的一点是你要照顾到不同的学生。数院的同学都很优秀，但彼此之间的基础和能力还是有差异的。有人想通了一点，就可以理解和掌握很多问题；而有的学生卡住了，可能就觉得很多东西都学不会。一旦落下，就会影响学习的信心和积极性，整个人的状态都不好了，这是很可怕的。我上课时一再强调最基础的知识，先保证能得六十分，实在感觉困难的内容可以先不用去管。总之要让学生保持在持续学习的状态中，不掉队才可能有进步。”
宋春伟：注重出题质量
“我平时留作业比较规范化，一般来说留一些不是太难的题目，是为了照顾到相对来说中间以及往后的同学，让他们也能够跟得上，建立自信。但考题我希望能够做到尽量地适应北大学生的水准。我也跟同学们说，这些题目你要想答得好，一定是基于对数学概念和原理的深刻理解，而不是依靠大量地刷题就能有更好的成绩。题目都是我自己出的，如有雷同，亦属巧合，想通过题海战术获得高分的可能性并不大。希望由此降低过多刷题的那种无必要的‘内卷’。”
冯荣权：讲好公式推导背后的数学思想
“在黑板上推导公式证明是数学老师的基本功，要特别注重把推导背后的思想讲给学生。使学生‘知其然’更要‘知其所以然’。讲思想是最重要的，其实公式具体的推导证明，每一步学生都可以自己看懂，但只有想清楚背后的道理，才能够更好地理解和掌握，所以老师讲课最主要的是要告诉学生为什么是这样。道理清楚后，具体的证明就是水到渠成的事情了。”
甘少波：注重逻辑与板书
“我在做学生时，听老师讲课特别注意两件事情。首先就是看授课教师讲课逻辑是不是清楚，还有就是看老师在黑板上的板书是不是规范，这两件事做得好，我通常就听得比较用心，上课也觉得更有收获。在我听过的课程中，我对姜伯驹和文兰两位老师的课程记忆犹新。姜老师的课是逻辑性强，条理清晰。文老师的课则另有一番功夫，他把内容、逻辑融入表达之中，譬如他会在重点的地方，有意识地调整声调语气，通过腔调抑扬顿挫的变化，制造一些起伏，让课程内容有高潮，防止学生昏昏沉沉，让他们保持注意力。根据自己听课的经验，我在教学时就特别注重逻辑和板书这两点基本功。基本功做好了，上课就变得比较自如，对教学节奏有更进一步的把握。”
刘若川：上课“卡壳”也会很有意思
“对于备课，我会备到‘七八成’。我觉得差不多可行，就去上课了，课上再现场推导，把过程展示给学生。这个过程不一定非常流畅，可能还有卡壳的时候，但让学生看我怎么从卡壳里边再跳出来，会更有意义。也有一时跳不出来的时候，我就把问题留给学生们自己思考或者下次课再解决。我认为一个学生尤其是北大学生，应该自己有能力去查资料了解一些基础知识，自己学着怎么吃‘生肉’，而不是总等着我把菜做好，直接来吃。通过这种方式，学生的主动性，对数学的兴趣更能显露出来。当然也有同学报怨，尤其在考试比较严格的时候，不过我还是愿意坚持这种方式。”
马翔：数学的美与教学的温暖
“国外普遍擅长宣传或交流，有通过讲解吸引别人眼球、能够把自己的工作深入浅出地讲给别人听的能力。我在国外听过很多人的报告，见识过很多人的风格之后，领悟到这一点。我现在教学中，往往也会用一些比较简单的概念或小模型教具来作为导入，让哪怕是非专业的人士或起点比较低的同学，也能够欣赏到数学的美。我也鼓励同学去跟老师多交流，包括课上课后，还有专门的office hour。尤其对于处在学习和学术摸索阶段的学生来说，非常需要这样一点支持和关心。这也是我过去学习中的教训，我就把它带入到当年我的角度去想，觉得学生需要我现在尽力给一点这种温暖。”
李文威：育之，公也
“我发现国内对于教学资源的开放程度还是不够。国外研究单位一般会默认讨论班或者讲座的视频都是公开的，而国内这方面的思维惯性还是没有完全扭转过来，到现在都有很多老师不愿意把自己上课的讲义、PPT共享给学生。我自己的作风就是完全公开，我所有的文章、报告、讲义，包括习题、试卷等都会分门别类整理好放到我的个人主页上，所有人都可以看。信息公开到一定程度，公开本身就变成了一个优势。公开也是一种自我督促，因为有一定水平的东西才会拿出来公开。”
刘毅：不怕“挂黑板”
“某个问题可能你一时不太有思路，但我有信心可以带着听众一起在黑板上试着解决它的，不怕‘挂黑板’。你尝试着去解决问题的这个过程中，听众很可能比他平时坐在下面单纯听课还要积极投入一些，他会帮你出点子。这种做法本身是有一定示范性的，告诉同学们数学很多时候并没有那么难，老师可以用行动告诉他们很多问题是想得出来、可以解决的。我有时候看到学生讲讨论班时，在黑板上停住的那个场景和这种情况比较像，他也在黑板上想一会儿就写一会儿，慢慢地就能够做出来，感觉还挺好的。”
文再文：邀学生合编教材，在实践中成长
“编一部书，就是一趟难得的学术历练。很多工作，包括标点符号的使用，翻译的规范，人名的处理等等，看似琐碎，却也是学术路上必不可少的训练。我会特意让学有余力的学生参与到自己教材的编写中来。在与学生合作编写的最优化教材中，除了基础理论，还设计了很多从具体实际问题中抽象建立数学模型等方面的内容。这些都是我们平时做科研接触过的问题，我把它们整理出来放到教材上，这样我们的内容就相对前沿。鼓励一些特别优秀的学生参与编写教材，是一种值得尝试的模式。”
杨磊：在历史中发现未来
“我讲课讲历史很多，当然主要不是故事，而是历史上的数学问题及其后来的发展。我觉得讲推理不如讲历史，了解数学史就会了解数学，历史就是逻辑。2000年前后入学的‘黄金一代’当时组织了一个小讨论班，因为原来我教过他们数学分析，还有李群表示、模形式等课，大概比较喜欢我的风格，就来找我指导，问我应该读什么书。因为他们不熟悉德文，我就推荐了克莱因英文版的《正二十面体和五次方程的解的讲义》。前两次由我来讲，后来是他们自己讲，每个人负责一段内容。这段经历对他们的影响应该是比较正面的，很多人后来都在研究核心数学，研究有深度的数学问题。”
包志强：在课堂上创造“锚点”
“北大数学学院的老师们有一个比较共同的教学策略，就是在课堂上要给学生留下深刻的印象。这一方面可以激发学生兴趣、提高注意力，另一方面也是符合认知规律的，因为一个地方印象深刻了，记忆、推理、联想就有了一个‘锚点’。我们很多数学老师在一起吃饭时会聊最近研究的问题、卡住的地方，也会聊课上讲精彩例子把学生‘镇住’的情形。除了不同的证明方法，知识的拓展有时也能给同学以震撼。比如我们学院的杨家忠老师有一年在数学分析课上给学生讲不定积分，有些函数比如积分之后不能用初等函数写出来，杨老师向学生展现了为什么不能写成初等函数的证明过程。那个思路对学生也是非常有震撼力的。”
周斌：根据学生选择数学问题和切入点
“对于非本专业的学生，教学会侧重计算的熟练性、对知识的灵活应用与迁移。对本专业的学生，我会尝试引导他们建立对学科的整体框架，比如分析这门课、这个学科到底是什么，想研究些什么问题。对于八九十人的数学专业大课，经常会有其他学院系的学生选修，这些课程比较基础，我要照顾大多数人的接受程度，通常会依据教材按部就班地讲解，加入少量扩展内容，但不会偏离太大。我也会根据学生的专业来选择数学问题和切入点，比如学生物的，就列举一些生物学的例子，如果学生是经济专业，我可能会引入部分经济背景的数学问题。”
郭帅：从备课中收获知识
“我讲的‘代数几何专题’是一门高阶课程，备课的时候更是费了不少小心思。基础课可以找现成的教材作为参考，但这门课我需要自己找材料，在这过程中我才发现自己组织选题并设计教学方案和思路绝非易事。因为我关心的几个题目比较专业，需要重新梳理很多原始文献的结构，并先亲自动手计算一遍相关问题，所以备课时间大概是授课时长的2倍。尽管备课过程耗费精力比较多，但我在知识上有所收获。但不得不说，自己备课写的讲义与成熟的教材相比还是有差距的。讲义要达到一定成熟度，绝不是讲一学期就可以实现的，而是需要多次授课的积累与沉淀，不断的尝试与打磨。现阶段我可能没办法达到这种高度，所以讲课我会尽量搜索当下比较成熟的教材。”
戴波：把学习的过程当成欣赏的过程
“老师上一次课，不到两个小时，实际上要花很多时间准备和思考。老师上课要把精彩的地方讲出来，培养学生的兴趣，有了兴趣他才会自己思考，才能提出好的问题。教材一般都是比较精炼的，是逻辑严格的体系，涉及概念定理的来源和想法比较少。实际上每个知识点都是前人的心血与智慧，教学上尽量讲清楚重要概念或定理的来龙去脉，引导学生把学习的过程也当成欣赏的过程。”
张磊：在专业课中掌握一门科学和研究方法
“专业课我不希望给学生们太多的压力，因为我们的目的并不是考学生解题技巧，而是希望学生能够通过上课和做作业，学到之前很少接触到的知识与方法。作业也是很灵活的，例如让他们做一个数学模型，把生物过程的方程写出来，并用数学工具分析如何求解。现在学生非常关心绩点，每一分对他们来说都特别重要，有些同学会试图为刷绩点而选择一些比较容易的课，这其实违背了学习的目的。我们老师之间也经常会讨论，能以什么样的方式鼓励同学们把着眼点放在所学的内容上？我认为专业课应该灵活一些，最重要的还是让学生们掌握一门科学和研究方法。”
董彬：夹杂“私货”
“当然，本科课程还是要以教材为基础，一些基本的概念与定理是每个人都要掌握的。我讲过两年线性代数，大部分内容都基于丘维声老师的那本教材进行讲授。但面对不同学院的同学，例如工学、信科、经院的同学们，我会夹杂‘私货’，中间抽出三节课左右的时间，告诉他们why should we care，即为什么线性代数重要。我会选取一些与时俱进的案例，掰开、揉碎，讲清楚，来让他们体会这门课程与本专业的关联，为他们注入兴趣的力量。应用数学方面有趣的事例很多，吸引同学们的注意力并不难做到。”
葛颢：跨学科研究
“跨学科研究不光是说懂数学就行了，还要花很多时间去理解那个学科。最重要的原因是其他学科的人不太可能为你提炼出一个单纯的数学问题，只能靠你自己去理解它，理解以后才能自己去想办法把它提炼出来。如果经常和别的学科的人聊一聊他的困难，对于我们来说就可以迅速地做出判断，弄清楚这个问题到底是一个实验的问题，还是理论的问题，数学能做什么。只有这个判断好了，才能去里面真正地找问题来做。”
余君：给同学们的一些建议
“大一的课程比较基础，非常关键。刚进大学时，无论自己是高考生，还是竞赛生，都要端正学习态度，不用担心自己的起始位置，要自己和自己比，相信只要投入足够的时间和精力，就会取得进步。大二时，同学们会接触到更多的领域，在此过程中，要学会寻找个人的兴趣点，在选课上有所侧重，以便在大二结束分专业时做出选择。虽然时代不同了，学习的规律还是一样的，我希望同学们能认清自己的目标与兴趣，保持健康的作息习惯，经常参加体育锻炼，保持良好的心态，形成良性循环。”
联合采编 | 北京大学教师教学发展中心
北京大学数学科学学院
编辑 | 赖赖
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