说谎者悖论：真与循环

据说，逻辑学家们讨厌歧义，但喜欢悖论。或许，这就是他们倾向于给出避免著名的说谎者悖论的正式处方而如此不愿诊断导致该悖论背后问题的原因。虽然说谎者悖论很古老，而且具有真正的重要性，但它不曾得到足够的分析，至少我们感觉如此。由于它明显涉及最基本的语义概念“真”“指称”和“否定”，而不涉及其他概念，所以这种理解缺失就导致质疑语义学的那些相应的基础原理。

说谎者悖论得名于明确表达一位说者直接或间接地断定他自己的断定是一句谎言。这种最简单的断定的一种形式是“我正在说谎”。然而，通常谈论的说谎者悖论不是这种形式，因为说谎引进各种各样的额外问题，诸如该说者有意骗人，而这些问题对于该悖论来说却不是本质的。相反，比较传统的做法是以下列概括版本之一来处理说谎者悖论。

在论证说谎者句的命题版本预断较少潜在重要问题后，现在就可以更详细地描述我们将采取的分析方法了。在最宽泛的意义上，我们的方法是标准的模型论方法：我们运用集合论来建模语句、命题和世界，以及它们之间各种各样的关系。我们必须阐释的最基本的关系是：第一，语句与其表达的命题之间的关系；第二，命题、性质“真”与此世界之间的三元关系。然而，在细节上，我们的方法在很多方面都不同于传统的解决方案。

或许，最引人注目的不同是我们所用的集合论。由于我们关心的语义现象涉及各种各样的循环，而标准集合论则假定基础公理，排除了这些现象的最自然的建模方式，所以标准集合论都相当笨拙。正是因为如此，我们转而运用一种优良的替代品，它归功于皮特·阿泽尔。在该理论中，基础公理被“反基础”公理所取代。反基础公理以对于集合的“累积”概念的一种极其直观的替代为基础，它保证存在一个丰富的循环对象类来建模相关循环现象。我们在第3章为该理论提供一个自足的介绍。

《说谎者悖论：真与循环》

（美）乔恩·巴威斯 （美）约翰·埃切曼迪 著

贾国恒 译

如前所述，我们将提出两种不同的阐释，一种基于语言与此世界之间关系的相当平常的罗素观念，另一种则基于奥斯汀观念。在这两种阐释中，命题都被视作主要的真值载体。这两种阐释的不同之处在于它们对于命题本性、语句可以用来表达命题的机制和真的本性的观点。我们在这两种阐释中都没有利用最著名的“可能世界”技术来建模命题，那里的命题被建模为一阶结构的一个索引集的子集。在我们的两种方案中，我们都使用了有结构的集合论对象，它们是一个命题做出的一个断言的编码，而该断言则表达该命题。这些集合论表达式的具体结构不意味着命题本身就具有同样的或类似的结构，或者甚至根本不意味它们必然是有结构的对象。倒不如说，这种结构是为了我们便于刻画前面提到的两种基本关系的特征。

我们同时提出两种模型，即在第Ⅱ篇中提出罗素阐释和在第Ⅲ篇中提出奥斯汀阐释，我们尽可能好地阐述每种模型。最终，我们论证，奥斯汀解决方案提供了更为优越的阐释，它实际上保留了我们关于真和此世界的所有前理论直觉，而且同时还更准确地反映了语言的极大灵活性。但是，罗素阐释不是仅仅被作为衬托而呈现的，因为从奥斯汀观念上来看，我们从罗素阐释中学到的东西具有更深刻的意义。的确，在某种意义上，罗素阐释可以嵌入奥斯汀架构。这样做既可以阐明这两种阐释，又可以突出导致悖论的语言的前理论直觉。

类说谎者悖论清单

前文已述，说谎者悖论的真正诊断应当对大量相关现象提出说明。在本节中，我们收集了悖论命题以及虽然不是悖论性的但明显相关的命题的一些例子。

说谎者：我们的架构允许我们考虑语句与其可表达的各种命题之间的关系，尤其是说谎者句

（λ）本命题不是真的。

与其可表达的命题（如果有的话）之间的关系。

 为了正式，我们浏览一下表明（λ）之悖论性的直觉推理。

（1） （λ）看起来显然可以用来表达关于任何命题p的一个命题，即p不为真的命题，我们可以成功地利用表达式“本命题”来指称命题p。

 （2） 因而，（λ）可以用来表达关于它自身的命题，称之为f，即f不为真的命题，这看起来是可信的。

 （3） 假如f是真的，那么它的断言就本必定是事实，所以f不是真的。因此，f不能是真的。

 （4） 但是，如果f不是真的，那么f断言的情况实际上就是事实。因此，f必定是真的。这是一个矛盾。

乍看之下，（2）似乎确实是这个推理中的最弱的一环，21悖论的很多解决方案都是在这点上而展开的。例如，正像塔斯基所坚持的严格的语言元语言层次那样，罗素禁止“恶性循环”所走的就是这条线路。很多人都认识到，这些解决方案的问题是，它们还排除了完全可理解的和没有问题的命题，比如上述命题（λ）。

我们已经讲过，我们的一般方法论考虑使我们回避这样的特设限制，当然除非它们结果不是特设的，即除非指称与命题之间关系的细致分析能够表明该限制是相关的普遍机制的一种结论。乍一看，这似乎只能是假的，因为存在很多关于自身的非悖论命题，既有真的也有假的。的确，在我们提出的每种模型中，都存在可由（λ）表达的关于它们自身的合法命题。因此，我们必须从其他方面寻求解决这个问题。

上述推理密切相关于T模式。运用于说谎者句，T模式就生发出来：

命题（本命题不是真的）是真的，当且仅当，（本命题不是真的）。

但是，这本身不是一个真正的矛盾。为得到一个矛盾，我们需要在上面的例子中用“命题（本命题不是真的）”来替换“本命题”的第二次出现。由这种替换得：

命题（本命题不是真的）是真的，当且仅当，命题（本命题不是真的）不是真的。

该替换由（2）而得到辩护。当然，上面确实是一个真正的矛盾。“只有”方向对应于我们的第（3）步推理，“如果”方向则对应于第（4）步推理。

言真者：言真者命题密切相关于说谎者命题，该命题断言它自身是真的。它可以由下面的语句来表达：

（τ）本命题是真的。

这里的基本直觉是，（τ）表达的命题不是悖论性的，它的真值“触手可及”。也就是说，人们似乎既能够假定它是真的也能够假定它是假的而不导致任何矛盾，并且完全独立于任何“令人不快的”非语义事实。

说谎者循环：另一种例子是所谓的说谎者循环命题，它兼有说谎者命题和言真者命题的特征。我们可以想象几个人A1，A2，…，An和B，他们每人的断言都是关于下一个人的断言，而最后B的断言是关于第一个人的断言。

（α1） α2表达的命题是真的。

 （α2） α3表达的命题是真的。

 ……

 （αn） β表达的命题是真的。

 （β）α1表达的命题是假的。

每个（αi）都断言下一个语句表达的命题是真的，而β却断言（α1）的断言是假的。又一次，正像在说谎者命题中的情况那样，看起来没有真值指派与这些断言是相容的。

偶然说谎者：请考虑偶然说谎者命题的如下例子：

（γ）麦克斯有梅花三，并且本命题是假的。

又一次，如果麦克斯手里没有梅花三，那么这个命题看起来就是假的。然而，如果麦克斯手里确实有梅花三，那么该命题就成为悖论性的，或者说它看起来是如此。

偶然说谎者循环：前面讨论的克里普克的例子（1.1）和（1.2）兼具说谎者循环命题和偶然说谎者命题的特征，下列则给出相同现象的一种更为简单的版本。令尼克松断定（α1）和（α2），而琼斯则断定（β）。

（α1） 麦克斯有梅花三。

 （α2） β表达的命题是真的。

 （β）α1和α2表达的命题至少一个是假的。

同样，如果麦克斯没有梅花三，这里就没有问题。尼克松两次都错了，而琼斯则是对的。但是，如果麦克斯确实有梅花三，那么（α2）和（β）表达的命题就不存在相容的真值指派方式。

勒伯悖论：勒伯悖论密切相关于偶然说谎者悖论。请考虑下述语句。

（δ）如果本命题是真的，那么麦克斯有梅花三。

这个例子看起来允许你仅仅运用分离规则和已知条件句就可以证明麦克斯有梅花三，其论证如下。假定（δ）的前件是真的，即（δ）表达的命题的前件是真的。但是，这样我们就得到（δ）表达的命题和其前件。在这种情况下，由分离规则得，麦克斯有梅花三。因而，我们就证明，如果（δ）的前件是真的，那么麦克斯有梅花三，并且根据已知条件句，我们确定（δ）是真的。再一次运用分离规则，我们就得到，麦克斯有梅花三。

古普塔疑难：请接着考虑下一个例子，它来自安尼尔·古普塔，是一种有趣的循环。想象有两个人，R和P。对于克莱尔与麦克斯之间的扑克游戏，其中克莱尔有梅花幺，R和P做出如下断言[因此，R做出的第一个断言（ρ1）是假的，而P做出的第一个断言（π1）则是真的]。

R的断言：

 （ρ1） 麦克斯有梅花幺。

 （ρ2） P的所有断言都是真的。

 （ρ3） P的断言至少一个是假的。

 P的断言：

 （π1） 克莱尔有梅花幺。

 （π2） R的断言至多一个是真的。

古普塔指出，人们自然地以下述方式而对这个事例进行推理。我们首先注意到，（ρ2）和（ρ3）是相互矛盾的，因此这两个断言至多一个可以是真的。鉴于由（ρ1）而做出的断言是假的，所以由（π2）而做出的断言就必定是真的。因此，（ρ2）表达的命题是真的，而（ρ3）表达的命题则不是真的。

古普塔引进这个循环的非悖论事例，把它作为克里普克的说谎者悖论解决方案的一个反例。克里普克的“最小固定点”阐释使这个简单的推理变得无效，虽然它看起来是完全合法的。我们在这里列出这个例子，是因为很多阐释在这个推理上都失败了，这使它成为任何竞争方案的一颗重要的验金石。

强化说谎者：对于最后一个例子，我们再次回到说谎者命题。不过这一次是考虑两个人，其中一个人断定说谎者命题，而另一个人，一位逻辑学家，则对第一个人表达的命题进行评论：

（λ1） 本命题不是真的。

 （λ2） 彼命题不是真的。

这里有趣的是，第二句断言不存在明显的循环。而且，由于（λ1）表达的命题显然看起来不可能是真的，所以假定（λ2）表达的命题肯定是真的，看起来就是合理的。但是，如果是那样，那么相同的推理不就证明说谎者命题本身是真的吗？如果我们能够回过头来认识到说谎者命题不可能是真的，那么同样的认识不恰好就是说谎者命题本身所表达的东西吗？我们已经注意到，这种两难折磨着说谎者悖论的很多解决方案，并确实导致很多人断言人们不能谈论说谎者命题的真。

《说谎者悖论：真与循环》

（美）乔恩·巴威斯 （美）约翰·埃切曼迪 著

贾国恒 译

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