唐少强：“逻辑线要拉长。”
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教师简介
唐少强，北京大学力学与工程科学系教授。1990年毕业于中国科技大学，获工学士（无线电电子学）与理学士（数学）学位，1995年于香港科技大学获博士学位（数学）。主要研究方向为多尺度计算方法与非线性波。唐少强教授长期讲授本科生主干基础课程，2002年和2009年两度被学生评为北京大学“十佳教师”，2013年获得北京市优秀教师称号，目前开设的课程包括“数学分析（一）”、“线性代数与几何”、“机器学习基础”、“高等数理方程”、“科学计算”等。
云淡风轻近午天
“我开过十二轮微积分，两次线性代数，教得比较多的是应用分析，可算是改造了的高等数理方程，十一轮。还教过七次科学计算，也零星开设过研究生的泛函分析、本科生的机器学习基础、多尺度算法选讲。我还在北大开过一次常微分方程——在北航开过两次。”在北大技物楼，唐少强向我们徐徐地历数二十五年来自己执教过的课程，云淡风轻。对于这位有着长期教学经验、见证过太多学科调整和院系变迁的“老教师”而言，如缕往事已凝结成今天丰厚的教学智慧。在常人看来，唐少强谦逊和平易，在众多上过他课的工学院学生眼中，他则是讲课生动无匹的“数分启蒙老师”，能将晦涩的知识讲授得“毫不无聊”，清晰晓畅。
给力学系学生教数学
建国以后，我国的力学学科一直分立于两个不同的学科系统，形成了两条相互关联而又彼此不同的传统。前者以北大数学力学系为代表，遵循的是苏联的学科体系，重视古典数学的基础；后者以清华的工程力学系为代表，重视工程应用。只有在这样的背景下，我们才能理解北京大学工学院数学课程的发展史，也才能理解唐少强的教学历程。
1979年，工学院力学系的前身——北大力学系由汉中迁回北京。此后一直到八十年代中期，北大的力学系和数学系都是共享一套数学基础课。但是从八十年代中期开始，随着基础课教员的流失和教育制度的调整，北大力学系经历了一段“混乱时期”：一方面，力学系开始需要自立门户，自行聘请教员来教授基础数学课程；另一方面，没有深深扎根于基础学科的教员，就很难保留北大力学系本来的学科传统。
北大力学系原由数学力学系分划而出，故相比于其他学校的工程力学专业，尤重于数学数学基础课的教授。“但力学出身的老师大多并非专精数学，而数学分析等数学基础课的讲授又非常考验授课者的数学底子。当时的力学系因而认为，最好能聘请数学系出身的老师来教授数学分析等基础课程。”唐少强毕业于中科大，本科学的是数学专业，而在博士期间从事工程领域相关的数学研究，堪称合适人选。“我就是这么被当时负责组织基础数学课的武际可老师招进来教数学分析的。”唐少强笑称。那一年，是1997年。
之后，北大的力学系又经历了数次机构上的调整。2006年后，单独的力学系不再存在，而成为北大工学院的一部分。在这种情况下，自任教以来，如何更好地定位理科力学和工科数学基础课，就一直是唐少强从未停止过摸索过的问题。“理科力学是所有的学科中，极少数的能同时授予理科学位和工学学位的学科，这决定了力学本科生教学的很多特点。”唐少强说道，“在后来发展的过程中，理科力学和工程力学也是相互交融的。比如说清华的钱学森力学班，作为工程力学专业，授课方式也有很多理科力学的特点。”不过在今天，工学院仍旧坚持由本院系教师开设数学基础课程，而不是由数学学院教师开设，北大工科的数学基础课终究是在理学和工学之间求平衡，这已与传统理科力学教育的模式有别。
唐少强解释道：
“由于力学系之后合并入工学院了，所以后来的学生专业选择比较分散，不是所有的学生都需要很深的数学。我们调整了政策，不是所有的学生都必须学习数学分析，而允许学习B类的数学课。但是另一方面，大部分学生在进来时是没有分专业的，所以我们会推荐学生选择相对深、难的数学课，之后在分专业时便会较少碰到选择上的障碍。”
兼顾增强基础和自由选择，并没有完全解决历史带来的问题：在现行工学院招生设置下，学生的基础毕竟参差不齐，专业需要也颇有差别，众口难调。唐少强明白，最根本的解决之道还是要将数学基础课的内容打造好，这是对于他和同事们的真正挑战，也是他在北大工学院的第一使命。
拉长线：
什么样的数学是我的学生真正需要的？
唐少强对于教学内容与方式的考量，基于“两个不一样”——一是工学院学生相比其他理工科院系学生的“不一样”，二是工学旨趣相比其他理工科学科的“不一样”。
唐少强认为：“教学不是‘教’决定的，而是学生决定的。学生的背景决定了教学的深度，否则学生有可能会‘吃不饱’，有可能会‘撑死’。”那么，怎么了解学生的背景呢？这是这几十年来唐少强在课下一直致力于做的事。首先，是观察正在上课的学生的反应。“正在跟你读的学生，会对你教的东西有反应，有的东西假如不是你放在教课内容里的话，他天生就会对某些东西普遍表示没有兴趣，比如级数，多数同学的确不感兴趣，它相对而言就不是一个很干净漂亮的东西。但有的东西是深刻的那种有趣，比如说我今天讲那个复合函数的极限，结论很自然，但是我把它都证明过来。你看它逻辑是干净的，很漂亮，每一个条件都用上了，每一句话都有出处，每个条件都恰到好处。我讲完以后，学生居然会鼓掌……”对学生心智的判断，在学生学习的过程当中，会自然生成。
其次，唐少强也从自己教过的、已经毕业的二十多届毕业生那里倾听他们的想法：“各行各业的毕业生踏上工作后，他们会带给你一些反馈的东西：哪些学校教的东西在研究或者工作中是真有用，哪些东西对他思考上是重要的，尽管并不是直接的有用，还有哪些东西其实还可以换个办法来讲，那我就将这些部分逐渐简化掉。”
需要强调的是，唐少强并不简单地根据当下课堂上的学生的反馈对课程进行修改，而特别看重后一种信息源，这一点包含深思熟虑。他认为，数学这样的基础课程，并不马上体现出自身对于学生后续应用与创新的意义，对其讲授的深度和侧重，固然要考虑学生的接受能力，但绝不意味着让学生自己选择就完事，也需要有经验的教师和科学工作者站在更长远的位置，来考虑其与学科发展整体目标的铆合情况。因此，唐少强为课程改革做的另一重要准备，就是这学期开始将所有的数学基础课（除了概率统计）在工学院轮番上一遍，结合自己的教学与备课来判断原来的课程大纲什么值得保留，什么值得增添。现在，他对工学院与数学学院基础数学课不同的认识是，前者不应该纠缠特别复杂的数学原理，而应该着眼于体系完整性，着眼于让每个学生“概念清，算得快”。
唐少强的改革工作，是漫长而隐微的，这恰恰是他心目中理性的改革应有的样子，他戏称为“治大国若烹小鲜”。改革工程在具体进行之时还会涉及到一个学生不太可能想到的因素：“学生变了，教师也变了”。唐少强在这里指的是，如今学院并没有常设的教学研讨会，随着院系的不断扩大，早年力学系的“集体备课”制度也不复存在，因此需要教师之间自己组织协商和统合。在担任力学与工程科学系的系主任期间，唐少强花费了大量的时间与其他教师探讨课程的具体改革问题。这套翻新的新数学基础课体系已经通过“理论与应用力学”强基计划正式实施，对北大力学人才培养来说，这是有重大意义的。
说干净，讲清楚，只传经，不送宝
不论在何种意义上，唐少强花多年推进的课程改革都不是一次一蹴而就的以新代旧，而是一项逐步开展却意义深远的工程。正如他在课堂上一贯的风格一样，他将长年的思索以润物无声的方式贯彻到教学设计的实践中。例如数学分析中，级数理论相对古典，在传统教学体系中占较大的比重，但由于计算技术的发展，经过考虑后，唐少强将级数理论进行了删减，并以与其异曲同工的含参变量的积分理论相对照。这样，教学既不失系统性，同时亦考虑到了工院学生学习数学分析的特点。
如果说上面提到的课改还更接近于教学的“顶层设计”的话，在如何将知识有效地传递给不同学生上，唐少强也有许多值得分享的经验，甚至也是改革成功的一个重要方面。唐少强对自己教学的目标定位是“说干净，讲清楚，只传经，不送宝”，它是什么意思呢？
“说干净”，就是在基础课上讲“干净”的数学，不过早地涉及应用方面的内容。举例来说，对于SVD——奇异值分解，当把基础理论讲透后，不过就是一个简单的结论。一方面，基础打扎实后，大部分应用的内容学起来是很快的；另一方面，对这些人类文明最宝贵的东西，不讲授，不讲明白，对渴望探求事物之源的学生也是不负责任的。
“讲清楚”的具体含义是，“要把80%的内容给80%同学讲清楚”（力学系老教师武际可的话）——注意，既不是100%，也不是50%。唐少强认为要把教学主线理明白，但同时也要适当“留白”。这样做的原因在于，如果教师让讲授内容过于高深，学生就会难以接受，但课程也应该避免过于啰嗦，主次不分，其目标不在于让学生都被动地把教材上的内容都一五一十地记下来，而在于让学生在掌握核心原理之后觉得“弄完以后还有想头”。
“只传经，不送宝”是唐少强面对学生的基本态度。因为不同学生对于知识的需求有着差异，所以唐少强强调，不能非要学生学特定的东西，“只传经”，就是让想学的学生都能学到知识。同时，教师自然应该给予每位寻求帮助的同学力所能及的帮助。唐少强说道：“比如说，学生因为学不会数学分析来寻求帮助，我就给你出出点子——如果只是实数理论学不会，那么可以先接着往下学——毕竟实数理论在数学分析整体的学习中可以等学好后面的内容再反过来弄明白；如果后面的极限也还是学不会，那么可以先跟着高数B的老师上课，补上相差的进度，并在下一个学期继续学高数B。这样的话，也不会耽误以后的专业学习。”
怎样才算是对学生负责？可以说，这个问题是唐少强从课改到教学的核心问题。在唐少强这里，首先，不是以老师的偏好要求学生——这是许多科研水平高超却教学经验不足的教师有时候不太重视的；其次，也不是一切顺遂学生，而是应该尽可能地让学生在漫长的学习之路上配备好他将来很可能需要的武装。
逻辑线要拉长。
这句他在课上常讲的话，
也是他教学和教改的核心之道。
采写丨张正涛 谢禹川
编辑 | 许宁
图片由教师提供
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