图 3. 超导人总结预言的超导转变温度 Tc 与本笔记梳理的三方物理间的“因果”关系。(上) The Uemura plot
showing Tc vs the effective Fermi temperature TF, From R.
P. Singh group, PRM 3, 104802 (2019),
https://doi.org/10.1103/PhysRevMaterials.3.104802(中) The typical
behaviors of Tc as a function of the electron-phonon coupling
parameter λ in a single band isotropic BCS model. From A. Bussmann-Holder et
al, Novel Superconducting Materials 2(1), 37 (2016),
https://doi.org/10.1515/nsm-2016-0004(下) Uemura plot of Tcversus the low temperature superfluid stiffness. Form D. R. Parker et al, PRL
104, 057007 (2010), https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.104.057007 如上三方物理，都有一个可测量来衡量其强弱、高低或者大小，因此是可以付诸实验检验的、是好物理量。正是基于此，许多超导人执着于物理因果关系的信念，试图去构建超导转变温度 Tc 与这些可测量的简单函数关系。其中一些学者，甚至耗费半生精力，于其中追逐，取得了诸多结果，让我们相信这样的简单函数关系的确存在。图 3 所示为一些例子，而类似的认知还有很多。 需要特别指出，对 BCS 理论有深入理解的超导人可能都认可，这三方物理对应的能量尺度都不大，与固体中很多量子进程的能量尺度差不多。因此，此三方物理也只是诸多进程之一隅而已。建立超导转变温度 Tc 与这些可测量的简单定量关系，远非易事。随便举两个例子： (1) 安德森极限 (Anderson limit)：1959 年，大神安德森曾经研究过超导转变温度 Tc 与样品大小的关系。安德森当时猜测，如果样品尺寸太小，载流子数目将减少，能量量子化导致的电子填充能级差就很大、甚至比超导能隙都大。这里的所谓超导能隙 Δ0，原本就是库珀对能量与一对自由电子能量的差 (前者比后者低)。当两个电子的填充能级差大于超导能隙时，这两个电子就难以结成库珀对。如此，这个样品就不可能超导。此极限尺寸，即所谓 Anderson limit，直到 2017 年才由法国的一个课题组用实验证实为真 (S. Vlaic et al, NC
8, 14549 (2017), https://www.nature.com/articles/ncomms14549)，确定的临界尺寸 ~ 100 nm3。这一极限的存在，在上述三方物理之外。 (2) 麦克米兰极限 (McMillan formula
for Tc)。从事高温超导的量子材料人，都追求超越所谓麦克米兰极限，好像多数认为这一极限是 Tc,max ~ 38
K，也有人说是 30 K。此极限是 1960 年代初由当时在 Bell 实验室工作的 Willam L. McMillan 教授提出，似乎是一个近似估算 Tc 的公式，乃通过数值迭代求解 Eliashberg equation 组后拟合出来，如图 2 所示。当然，正因为超越这个估值的例子并不那么多，所以才有超越之后的兴奋，也说明这一简洁的关系实际上并非那么普适和好用。 如上两个周知实例，说明决定超导转变温度 Tc 的物理不那么简单，有诸多因素介入。有鉴于此，就有睿智的超导人尝试另谋他途。例如，中科院物理所胡江平老师，早几年就尝试过用材料基因组学的方法处理超导电性问题，虽然他可能主要针对非常规超导。个中新意和缘由，值得敬佩，或者可另文描述、在此不论。 我们还是回到超导转变温度 Tc 的主题上来。无独有偶，最近，来自米国 Cornell University 物理系量子材料理论的青年才俊 Debanjan Chowdhury 教授(https://physics.cornell.edu/debanjan-chowdhury)，联合以色列 Weizmann Institute
of Science 的 Johannes S. Hofmann 博士、Erez Berg 教授(https://www.weizmann.ac.il/condmat/berg/welcome)，及斯坦福大学超导理论名家 Steven A. Kivelson 教授(他也是《npj QM》的主编、https://sitp.stanford.edu/people/steven-kivelson)一起合作，完成了一项有关超导转变温度 Tc 的探索工作，发表在《npj QM》上。这一工作，别具一格，致力于质疑 Tc 与费米温度 TF、零温下超流刚度 ρs(0)、电声子耦合强度 ω0 三个物理量之间是否存在简洁的因果关系 (很少有文章做这样的质疑工作)。如果这样的简单因果关系存在，则以 Tc / TF、Tc /
ρs(0)、Tc / ω0 这三个比值来表达的结果就应该是有限的。问题是，他们通过几个模型哈密顿的严谨分析 (图 4 所示为一例)，揭示出：这几个比值可能是无界的，与原来认知的简洁的因果关系不符。他们的主要结论是：物理上，这些简洁的比值关系，当然符合物理逻辑、也很有用，但看起来 none of them serve
as a fundamental bound on Tc。这一句话，很是决绝！
图 4. Chowdhury 他们给出的费米能 EF 的两种定义 (上部) 和库珀对玻色子的动量分布 (下部)。详见作者论文 (点击文尾“阅读原文”) 或者更直截了当地说，这一工作的结论是：Tc / TF、Tc /
ρs(0)、Tc/ ω0 这三个比值，原本被认为是有限的，实际上却可能是无界的！对超导转变温度 Tc，得出这样的结论，应该说足够令人意外、却似乎在意料之中！凭这一点，应该够了《npj QM》的刊发标准，更别提这一问题背后蕴含的追逐简洁因果关系所面临的挑战。这大概也是当下物理科学研究那丰腴世界中的一帧缩影、一只极限环、一方大模样。 雷打不动的结尾：Ising 是外行，如若理解错了，敬请谅解。各位有兴趣，还是请前往御览原文。原文链接信息如下： Heuristic
bounds on superconductivity and how to exceed them Johannes S. Hofmann, Debanjan
Chowdhury, Steven A. Kivelson & Erez Berg npj Quantum Materials volume 7,
Article number: 83 (2022)https://www.nature.com/articles/s41535-022-00491-1 七律·穹宇 经年十月望天空，物理情怀作客东盘古时光原可度，银河星宿迹难同凡尘有意凝山水，混沌无由序昊穹将许冰心多向宇，犹听系综化长风
备注：(1) 编者 Ising，任职南京大学物理学院，兼职《npj Quantum Materials》编辑。(2) 小文标题“物事纷飞：超导转变温度 Tc”乃感性言辞，不是物理上严谨的说法。这里只是表达超导转变温度的理论预测是如何艰难而又充满吸引力，让多少超导人“消得人憔悴”。(3) 文底图片拍摄自金陵大街之夜 (20190928)。小诗原针对 2019 年很诗意、很感性的诺贝尔物理学奖而写，描绘盘古时光开始、凡尘凝聚成星体、混沌通过对称破缺形成今天的寰宇天空 (20191009)。(4) 封面图片展示了 why superconductivity takes place in graphene
theoretical physicists take important step in development of high-temperature superconductors，这里借来表达如下意涵：对 Tc 的理论探索,给超导研究带来了星星之火，是可以燎原的。图片来自 https://www.jyu.fi/en/current/archive/2020/02/。 精选文章 超导向列序涨落的扩张三明治中电控拓扑超导轨道纵有千条，库珀只爱一方追快知新、逐短知奇Biskyrmion: 看清了么“呼吸”量子磁性界面磁阻挫：物理可堪用Kitaev量子自旋液体的至亲拓扑绝缘体与反铁磁的美妙邂逅无中生有个价键玻璃态 欢迎订阅 npj Quantum
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